Calcul du béton armé selon l'Eurocode 2 (EC2) : la méthode aux états limites

Depuis le retrait progressif du BAEL, le béton armé se dimensionne en France avec l'Eurocode 2 : la norme NF EN 1992-1-1 et son Annexe Nationale (NA). L'approche n'est pas radicalement différente du BAEL — on raisonne toujours en états limites — mais les notations, les coefficients et les diagrammes ont changé. Cet article reprend le fil logique d'un calcul, du principe jusqu'à un exemple chiffré.

1. États limites : ELU et ELS

Le dimensionnement repose sur deux familles d'états limites :

ELU — États Limites Ultimes : la ruine de la structure (rupture, instabilité). On vérifie que les sollicitations de calcul restent inférieures aux résistances de calcul, avec des matériaux affectés de coefficients de sécurité.
ELS — États Limites de Service : l'aptitude au service (flèches, fissuration, contraintes). On y travaille avec les matériaux à leurs valeurs caractéristiques, sans minoration.

Les actions sont combinées différemment selon l'état limite. La combinaison fondamentale à l'ELU s'écrit, dans le cas courant :

E_d = 1,35 · G + 1,5 · Q (ELU, combinaison fondamentale)
E_d = G + Q (ELS, combinaison caractéristique)

où G désigne les actions permanentes et Q les actions variables (les valeurs ψ pondèrent les actions d'accompagnement multiples — voir l'EN 1990).

2. Résistances de calcul des matériaux

Le cœur de la sécurité « matériaux » de l'EC2 tient dans deux coefficients partiels, à l'ELU en situation durable : γc = 1,5 pour le béton et γs = 1,15 pour l'acier.

Béton

On part de la résistance caractéristique en compression sur cylindre à 28 jours, f_ck (ex. 25 MPa pour un C25/30). La résistance de calcul vaut :

f_cd = α_cc · f_ck / γ_c

Le coefficient α_cc tient compte des effets de longue durée. L'Eurocode recommande une valeur entre 0,85 et 1,0 ; l'Annexe Nationale française retient α_cc = 1,0 dans le cas général. Pour un C25/30 : f_cd = 1,0 × 25 / 1,5 ≈ 16,7 MPa.

Le comportement du béton comprimé est modélisé par un diagramme parabole-rectangle, avec une déformation ultime ε_cu2 = 3,5 ‰ (pour les bétons courants, f_ck ≤ 50 MPa).

Acier

Pour un acier B500 (le plus courant), la limite d'élasticité caractéristique est f_yk = 500 MPa. La résistance de calcul vaut :

f_yd = f_yk / γ_s = 500 / 1,15 ≈ 435 MPa

Le module d'élasticité de l'acier est pris à E_s = 200 000 MPa. On utilise généralement le diagramme à palier horizontal (branche plastique à f_yd).

3. Le diagramme des pivots

À l'ELU, la section fléchie se dimensionne en supposant que les sections planes restent planes (Bernoulli) et que le béton tendu ne reprend aucun effort. La déformation de la section est bornée par le diagramme des pivots :

Pivot A : la ruine est atteinte par allongement excessif de l'acier tendu. Le béton n'est pas pleinement utilisé — situation économique en acier.
Pivot B : la ruine est atteinte par écrasement du béton comprimé (ε_cu2 = 3,5 ‰), l'acier étant encore plastifié.
Pivot C : sections entièrement comprimées (poteaux, par exemple).

En flexion simple, on cherche à rester côté Pivot A / début de Pivot B : c'est là que l'acier travaille pleinement et que la section reste ductile.

4. Flexion simple : la méthode

Pour une section rectangulaire b × h de hauteur utile d soumise à un moment M_Ed à l'ELU, on calcule d'abord le moment réduit :

μ_cu = M_Ed / (b · d² · f_cd)

Tant que μ_cu reste inférieur à la limite μ_lu (≈ 0,372 pour un acier B500 sans limitation de ductilité particulière), aucune armature comprimée n'est nécessaire. On en déduit la position relative de l'axe neutre et le bras de levier :

α_u = 1,25 · (1 − √(1 − 2·μ_cu))
z = d · (1 − 0,4 · α_u)

La section d'acier tendu se déduit alors de l'équilibre du moment :

A_s = M_Ed / (z · f_yd)

5. Exemple : poutre rectangulaire

Soit une poutre b = 0,30 m, h = 0,50 m, hauteur utile d = 0,45 m, béton C25/30, acier B500, soumise à un moment ELU M_Ed = 150 kN·m.

Étape	Calcul	Résultat
f_cd	1,0 × 25 / 1,5	16,7 MPa
f_yd	500 / 1,15	435 MPa
μ_cu	0,150 / (0,30 × 0,45² × 16,7)	0,148
α_u	1,25 (1 − √(1 − 2×0,148))	0,201
z	0,45 (1 − 0,4 × 0,201)	0,414 m
A_s	0,150 / (0,414 × 435)	≈ 8,3 cm²

Comme μ_cu = 0,148 < μ_lu, pas d'acier comprimé : on retient par exemple 3 HA 20 (9,42 cm²), à vérifier ensuite vis-à-vis de la section minimale A_s,min et des dispositions de l'EC2.

6. Ne pas oublier : enrobage et vérifications ELS

Le calcul des aciers n'est qu'une étape. Il reste notamment à :

fixer l'enrobage nominal c_nom = c_min + Δc_dev selon la classe d'exposition (XC, XS, XD…), qui conditionne la durabilité ;
vérifier l'effort tranchant et dimensionner les armatures transversales (cadres) ;
contrôler les ELS : limitation des contraintes, maîtrise de la fissuration (ouverture w_k) et des flèches ;
respecter les sections minimales/maximales et les dispositions constructives (espacements, ancrages, recouvrements).

L'Eurocode 2 ne donne pas « la » section : il fixe un cadre cohérent où chaque vérification (ELU, ELS, durabilité, dispositions) doit être satisfaite. C'est l'enchaînement complet qui fait le dimensionnement.